Dimensjonering av bjelker med varierende steghøyde

Konstruktion
Denne artikkelen tar for seg temaet i en nylig utført masteroppgave ved NTNU. Av og til må ingeniøren kunne regne kapasitet til bjelker som har varierende tverrsnittshøyde, eksempelvis oppsveiste I-bjelker der stegplaten har lineært varierende høyde (Figur 1). Slike bjelkeutførelser kan være valgt for å oppnå større tverrsnittshøyde og bøyekapasitet i kritisk snitt i en bjelke, større tverrsnitt inn mot hjørner i stålrammer, eller for å etablere takfall langs en takbjelke.

Varierende tverrsnittshøyde forekommer også i trebjelker/limtrekonstruksjoner og i betongbjelker, og i fritt frambygg-broer. I disse tilfellene må det utføres spesielle kontroller for tverrstrekk og tverrtrykk (i trebjelker) og armeres ekstra for strekk/skjæreffekter i betongbjelker.

Figur 1 – Bjelke med økende steghøyde, illustrasjon med element-skallmodell – påsatt tverrkraft.

Bøyeoppførselen og bæreevnen («in-plane behaviour») til slike stålbjelker er vanligvis ikke behandlet i stål-lærebøker. Mange vil anvende vanlig bjelketeori som for uniforme bjelker, eller gå løs og modellere det hele med elementmetoder, sistnevnte gir resultater som ikke nødvendigvis er lette å omsette til kapasitetspåvisning etter standardene. Konservative antakelser og vanlig bjelketeori kan gi tilnærmet riktige resultater for nedbøyninger og bøyespenninger, men vil gi betydelige feil for skjærspenningene i bjelkesteget og delvis for tverrkreftene forårsaket av vinkelendringer i en eller begge bjelkeflensene.

Etter vanlig bjelketeori for uniforme bjelker er som kjent normalspenningene fra moment og aksialkraft rettet parallelt til bjelkens akse gjennom tyngdepunktet. Bjelkens skjærkraft forutsettes tatt av skjærspenningene i bjelkens steg. For bjelker med varierende steghøyde derimot står flensene skråstilte i forhold til bjelkeaksen, og normalspenningene i bjelkeflensene og i stegplaten blir tilsvarende skråstilte. Skrå flenskrefter har kraftkomponenter tvers på bjelkeaksen, noe som påvirker og samvirker med bjelketeoriens bøyeskjærspenninger. En ytterligere komplikasjon for bjelker med skrå flenser er at det heller ikke er finnes noe «riktig» tverrsnitt man skal bruke, fordi en valgt snittlinje ikke samtidig kan skjære begge flensene og stegplaten i en rett vinkel (Figur 2).

Figur 2 – Bjelke med tre valgte snitt A, B og C – ingen skjærer alle tre platene i en rett vinkel.

Hvis flensvinkelen er over en viss størrelse, bør effekten av skrå spenninger og flenskrefter definitivt ivaretas i beregningene. Teoretisk løsning for dette bjelkeproblemet bygger på løsningen for linjelast på et halvuendelig medium (av Boussinesq og Flamant, og videreutviklet av Timoshenko), der de radielle spenningene gitt av

, og kileteori («wedge theory») der det er vist at normalspenningsfordelingen brer seg ut radielt som i en kile fra et fokuspunkt i dens spiss, «apex»-punktet. Det er vist at stegplater med varierende steghøyde får en spenningssituasjon som kiler, med radielle normalspenninger, og i nyere tid har Trahair og Ansourian videreutviklet kileteorien til å dekke N, V og M-belastning for bjelker med flenser.

Figur 3 – Illustrasjon av normalspenninger i kiler (og tilsvarende i bjelker med varierende steghøyde) for hhv a) aksiallast N og b) tverrlast V.

Som vist i Figur 3 er spenningene i kiler og stegplater utledet teoretisk for et radielt (buet) tverrsnitt. Spenningene på dette buede snittet består av radiell normalspenning og/eller skjærspenninger  langs snittet. Tilsvarende radielle spenninger opptrer i bjelker når flensene er skrå. Forskjellen på et buet snitt og et rett snitt i en bjelke er vist i Figur 4a. Radielle og tangentielle spenninger i et hvert punkt i bjelken kan finnes fra formlene fra kileteorien, og en kan velge om en vil beregne spenningene for punkter langs buesnittet eller langs det rette, vertikale snittet, forskjellen er bare valg av koordinatverdier som settes inn i formlene.

Figur 4 – a) Sirkulært (buet) snitt og rett snitt over bjelkeaksen. b) Eksempel på spenninger over buet snitt forårsaket av momentbelastning.

Radielle spenninger

langs et buet tverrsnitt gir som en kan skjønne fra Figur 4b opphav til både normalspenning og skjærspenning i det kartesiske koordinatplanet xy. Dette resulterer i annerledes spenningsfordelinger enn man er vant til for uniforme bjelker.

Det må uansett gjøres visse antakelser for å beregne spenningsforløpet i bjelker med varierende steghøyde, Figur 5. Flensene har vanligvis konstant tykkelse og kilen og dens «apex» bør defineres av stegets ytterkanter, Figur 5, og vil ligge i en avstand r0 fra bjelkens ende. Bjelkens varierende høyde bestemmer vinkelen

Figur 5 – Kilemodell av en bjelke med varierende tverrsnittshøyde. Illustrasjon hentet fra Trahair og Ansourian.

Figur 6 – Eksempel på spenningsfordelinger i I-bjelker for to lasttilfeller, a) Normalkraft, b) Eksentrisk tverrkraft (fra Trahair og Ansourian).

Figur 6 viser eksempler på spenningsfordelingen i bjelker med skrå flenser, for et snitt lagt tvers over bjelkeaksen. Spenningene er både relatert til polarkoordinatretningene () og kartesiske koordinater (yz). Figuren er lånt fra Trahair og Ansourian som bruker symbol z for lengdeaksen. Den øverste figuren (fig. 6a) viser spenningene for lasttilfellet med ren aksiallast (N) og nederste figur (fig. 6b) for tilfellet med en påsatt eksentrisk tverrkraft. På grunn av de radielle kile-teori-spenningene (normalspenningene) som opptrer i bjelkens flenser og steg vil det oppstå betydelige skjærspenninger i bjelkens steg for å skape likevekt. Det oppstår altså skjærspenninger i bjelkesteget selv for belastningen med ren aksiallast (fig. 6a). Figurene viser også normal- og skjærspenningsdiagrammene for polarkoordinat-spenningene transformert til bjelkens akser z og y. Spesielt skjærspenningsfordelingene ser vi har uvant form sammenlignet med vanlig bjelketeori.

Det henvises til masteroppgaven til Odin Strandkleiv Thorsrud for den som vil fordype seg mer i de relativt omfattende formlene for bjelkens radielle spenninger og tangentielle skjærspenninger. I oppgaven er det gitt resultater fra beregninger for eksempelbjelker funnet ved å bruke eksakt kileteori, hvor spenningene beregnes både for radielt (buet) tverrsnitt i bjelken og spenningene på rettlinjede snitt (som i Figur 4a), og det er gjort sammenligninger med løsninger med elementmetodeberegninger (Abaqus). Det er oppnådd utmerket samsvar mellom kileteorien og de numeriske resultatene, selv opp til veldig store flensvinkler. Det er videre vist i masteroppgaven at konvensjonell bjelketeori gir små feil for normalspenningene i bjelker helt opp til kilevinkelen (flensvinkelen) ca. 8-10 grader. For å oppnå konservative resultater for bjelkens momentkapasitet må man bruke flensenes reelle tykkelse i beregninger av for eksempel andre arealmoment, og ikke bry seg om at et tenkt snitt gjennom en skrå flens har større snitt-tykkelse.

Referanser:

  1. «Bjelker med varierende bjelkehøyde», O.S.Thorsrud, Masteroppgave NTNU 2021 – finnes på NTNU – åpent tilgjengelig.
  2. “In-plane behaviour of web-tapered beams”, N.S.Trahair and P.Ansourian, Engineering Structures(2015) – journalartikkel, må hentes på nett eller bibliotek.

Författare
Arne Aalberg, NTNU
Odin Strandkleiv Thorsrud, XPRO Ålesund